Ο Λιαντίνης, η εξίσωσή του Σρέντιγκερ και η επιστημολογική προσέγγιση του θανάτου

“Φιλοσοφία εστί μελέτη θανάτου”, έλεγε ο Πλάτωνας. Πράγματι, τον άνθρωπο τον κατέχει μια εγγενή περιέργεια να απαντήσει στα θεμελιώδη ερωτήματα της ζωής εκ των οποίον το κυρίαρχο είναι: ‘Τι σημαίνει ζωή, τι σημαίνει θάνατος’.

Ας διαβάσουμε τι έχει να πει, περί του ερωτήματος αυτού, ο Δημήτρης Λιαντίνης…

Περί του προβλήματος του θανάτου

“Θέλω να κάνω δύο δηλώσεις προεξαγγελτικές που τις θεωρώ και αναγκαίες, για μια σωστή προσέγγιση, επιστημονική, ενός θέματος.

Η μία είναι ότι η μέθοδος που θα χρησιμοποιήσουμε για να επεξεργαστούμε το πρόβλημά μας, έρχεται καθαρά από τις μεθόδους των θετικών επιστημών. Απευθύνομαι σε γιατρούς, και ξέρετε τι σημαίνει μέθοδος θετικών επιστημών: Λαμπορατόριο! Εδώ δεν έχει παίξε γέλασε και έτσι και αλλιώς. Διότι αν το φάρμακο, δεν είναι φάρμακο, θα ‘ναι φαρμάκι.
Θα είμαστε, δηλαδή, τόσο ακριβολόγοι σχετικά με τη μέθοδο, γιατί το θεωρώ πρώτης σπουδαιότητας, όχι μόνο για μια συζήτηση, για μια διάλεξη, για μια ομιλία, για μια διδασκαλία, αλλά και στις καθημερινές μας σχέσεις, τη μέθοδο που χρησιμοποιούμε για να ‘ρχόμαστε σε επικοινωνία με τους άλλους, είναι το πρωτεύον. Η μέθοδος! Κι αν έχουμε μια τέτοια διαφωνία κι ένα τέτοιο αλαλούμ, στις καθημερινές μας σχέσεις είναι ακριβώς γιατί δεν έχουμε μέθοδο. Το πιο δύσκολο πράγμα, έχουν να λένε οι ειδικοί, είναι ο διάλογος. Να κάνεις ένα διάλογο, είναι τρομερά δύσκολο πράγμα. Συνήθως όταν κάνουμε διάλογο, ακούμε ο καθένας τη δική του φωνή, δεν ακούμε τον άλλο, κάνουμε δηλαδή δύο παράλληλους μονολόγους.

Το ένα λοιπόν είναι αυτή η μέθοδος, η οποία θα λάβει στην ακραία μορφή και τον πειραματικό χαρακτήρα. Δηλαδή, έχω πίσω εδώ από την έδρα φέρει τα σύνεργα, τα υλικά μου, για να σας κάνω ένα πείραμα. Το οποίο θα κάνουμε στο τέλος και αν μας μείνει χρόνος. Παρακαλώ, αν μου διαφύγει, γιατί μπορεί να με πάρει ο ειρμός και ο συρμός και να το ξεχάσω, να μου το θυμίσετε. Θα αποδείξουμε με το πείραμα αυτό ότι: Εμένα που με βλέπετε αυτή τη στιγμή ζωντανό, όπως όλοι είμαστε ζωντανοί, ταυτοχρόνως είμαι και πεθαμένος. Είμαι νεκρός. Θεωρητικά μπορείς να το λες. Στην πράξη να το δεις! Είναι το πιο συγκλονιστικό πείραμα που έγινε στις φυσικές επιστήμες.
Το περίφημο πείραμα του Σρέντιγκερ, που απέδειξε την αρχή της απροσδιοριστίας. Έχουμε τα υλικά και θα το κάνουμε. Τονίζω λοιπόν ότι θα είμαστε πολύ εμπράγματοι, πολύ ρεαλιστές και δε θα φύγουμε σε νεφελοκοκκυγίες, πραγματευόμενοι το πρόβλημα.

Το δεύτερο, που θέλω να τονίσω προτού μπούμε στο θέμα μας, είναι ο σκοπός. Για ποιο σκοπό θα ερευνήσουμε αυτό το πρόβλημα. Θέλω να πω από την αρχή, ότι δεν ήρθαμε εδώ για να ψυχοπλακωθούμε, να φορέσουμε πλερέζες, και τελειώνοντας αυτό το συμπόσιο, θα το πω πλατωνικά, να έχουμε την αίσθηση ότι βγαίνουμε από ένα νεκροταφείο. Όχι! Ένα μήνυμα κατάφασης και δύναμης και αισιοδοξίας θέλουμε να βγάλουμε, ερευνώντας αυτό το πρόβλημα. Κι αυτό, παρακαλώ, να το ‘χουμε υπόψη.”

1998, Λιαντίνης  https://www.greekgeek.gr/liantinis-srediger-thanatos/

 

Η γάτα του Σρέντινγκερ είναι ένα νοητικό πείραμα, που χαρακτηρίζεται και ως παράδοξο, επινοήθηκε από τον Αυστριακό φυσικό Έρβιν Σρέντινγκερ (Erwin Schrödinger) το 1935. Αναπαριστά αυτό που είδε ως το πρόβλημα στην ερμηνεία της Κοπεγχάγης για την κβαντομηχανική στην εφαρμογή της σε καθημερινά αντικείμενα. Το σενάριο παρουσιάζει μια γάτα, η οποία μπορεί να είναι ταυτόχρονα ζωντανή και νεκρή, με την κατάστασή της να συνδέεται με προηγούμενο τυχαίο γεγονός. Το νοητικό πείραμα συναντάται συνήθως σε θεωρητικές συζητήσεις για τις ερμηνείες της κβαντομηχανικής. Κατά την ανάπτυξη αυτού του πειράματος ο Σρέντινγκερ επινόησε τον όρο κβαντική διεμπλοκή.

Το νοητικό πείραμα. ...

Σύμφωνα με τον Σρέντινγκερ:^[1][2]

Κάποιος μπορεί να κατασκευάσει αρκετά γελοίες περιπτώσεις. Μια γάτα κλειδώνεται σε ένα ατσάλινο θάλαμο, μαζί με την εξής διάταξη (η οποία βρίσκεται με ασφάλεια εκτός εμβέλειας της γάτας): σε έναν μετρητή γκάιγκερ υπάρχει μια ελάχιστη ποσότητα ραδιενεργής ουσίας, τόσο μικρής, που κατά τη διάρκεια μιας ώρας ένα από τα άτομα διασπάται, αλλά επίσης ισοπίθανα, ίσως και όχι. Αν συμβεί αυτό ο μετρητής ενεργοποιείται και μέσω ενός διακόπτη (ρελέ) απελευθερώνει ένα σφυρί που σπάει μια μικρή φιάλη με υδροκυάνιο. Αν κάποιος αφήσει αυτό το σύστημα μόνο του για μια ώρα, μπορεί να υποθέσει ότι η γάτα είναι ακόμα ζωντανή, εάν στο μεταξύ δεν έχει διασπαστεί κάποιο άτομο. Η κυματοσυνάρτηση του συστήματος μπορεί να το εκφράσει, αν υπάρχει σε αυτή και η ζωντανή και η νεκρή γάτα (συγχωρήστε μου την έκφραση) αναμεμιγμένες ή διάχυτες εξίσου.

Κλασικά τέτοιες περιπτώσεις απροσδιοριστίας αρχικά περιορισμένες στο ατομικό επίπεδο, μετασχηματίζονται σε μακροσκοπικές απροσδιοριστίες, οι οποίες μπορούν να επιλυθούν με απευθείας παρατήρηση. Αυτό μας εμποδίζει από το να δεχτούμε έτσι αφελώς ένα "θολό μοντέλο" που αναπαριστά την πραγματικότητα. Από μόνο του δεν συμπεριλαμβάνει τίποτα ασαφές ή αντιφατικό. Υπάρχει διαφορά μεταξύ μιας κουνημένης και "out-of-focus" φωτογραφίας και μεταξύ ενός στιγμιότυπου σύννεφων και ομίχλης.

— Erwin Schrödinger, Die gegenwärtige Situation in der Quantenmechanik (The present situation in quantum mechanics), Naturwissenschaften
(translated by John D. Trimmer in Proceedings of the American Philosophical Society)

Το περίφημο νοητικό πείραμα του Σρέντινγκερ θέτει το ερώτημα, "πότε ένα κβαντικό σύστημα σταματάει να υπάρχει σε μια κβαντική υπέρθεση καταστάσεων και γίνεται το ένα ή το άλλο;" (Πιο τεχνικά, πότε μια πραγματικά κβαντική κατάσταση σταματά να είναι γραμμικός συνδυασμός καταστάσεων, που παριστούν διαφορετικές κλασικές καταστάσεις και αντ' αυτού αρχίζει να έχει μοναδική κλασική συμπεριφορά;) Αν η γάτα επιζεί, θυμάται μόνο ότι ήταν ζωντανή. Αλλά επεξηγήσεις του παράδοξου EPR που είναι συνεπείς με την κλασική μικροσκοπική κβαντομηχανική απαιτούν ότι μακροσκοπικά αντικείμενα, όπως οι γάτες και οι φορητοί υπολογιστές, δεν έχουν πάντα μοναδική κλασική περιγραφή. 

Το νοητικό πείραμα απεικονίζει αυτό το φαινομενικό παράδοξο. Η διαίσθησή μας προστάζει ότι κανένας παρατηρητής δε μπορεί να βρίσκεται σε μίξη καταστάσεων, όμως η γάτα, όπως φαίνεται από το νοητικό πείραμα, μπορεί να είναι αυτή η μίξη. Χρειάζεται η γάτα να γίνει παρατηρητής, ή από μόνη της η ύπαρξη σε μια καλά καθορισμένη κλασική κατάσταση απαιτεί κάποιον εξωτερικό παρατηρητή; Κάθε εναλλακτική λύση φαίνεται παράλογη για τον Άλμπερτ Αϊνστάιν, ο οποίος εντυπωσιάστηκε από την ικανότητα του νοητικού πειράματος να τονίζει αυτά τα θέματα. Σε γράμμα του προς τον Σρέντινγκερ το 1950, έγραψε:

Είσαι ο μοναδικός σύγχρονος φυσικός, πέραν του Λάουε, ο οποίος μπορεί να δει ότι κάποιος δε μπορεί απλά να προσπεράσει την υπόθεση της πραγματικότητας, αν θέλει είναι ειλικρινής. Οι περισσότεροι δε βλέπουν το επικίνδυνο παιχνίδι που παίζουν με την πραγματικότητα-πραγματικότητα ως κάτι ανεξάρτητο από αυτό που είναι πειραματικά καθιερωμένο. Η ερμηνεία τους, ωστόσο, αντικρούεται τόσο κομψά από το δικό σου σύστημα του ραδιενεργού ατόμου + ενισχυτή + πυρίτιδα + γάτα στο κουτί, στο οποίο η κυματοσυνάρτηση του συστήματος περιέχει και την ζωντανή γάτα και την κομματιασμένη. Κανένας δε μπορεί να αμφιβάλει ότι η παρουσία ή απουσία της γάτας, είναι κάτι ανεξάρτητο της πράξης του παρατηρητή.^[3]

Αίσθηση προκαλεί το γεγονός ότι η πυρίτιδα δεν αναφέρεται στον μηχανισμό του Σρέντινγκερ, ο οποίος χρησιμοποιεί μετρητή Γκάιγκερ ως ενισχυτή και υδροκυάνιο ως πυρίτιδα. Η πυρίτιδα αναφέρθηκε στην αρχική υπόθεση του Σρέντινγκερ 15 χρόνια νωρίτερα και προφανώς ο Αϊνστάιν το συνέχισε στην τωρινή συζήτηση. Θα πρέπει να σημειωθεί ότι ο Αϊνστάιν όχι μόνο ποτέ δεν συμπάθησε την κβαντική μηχανική αλλά βάσει των πειραματικών αποδείξεων του θεωρήματος του Μπελ^[4] (John Stewart Bell) η άποψη του Αϊνστάιν περί κβαντικής σύμπλεξης αποδείχθηκε θεμελιωδώς λάθος.

Αντίλογος

"Πράγματι, η θέση και η ταχύτητα ενός ηλεκτρονίου δεν είναι δυνατό να καθοριστούν την ίδια χρονική στιγμή, αλλά κάτι τέτοιο σημαίνει απλώς ότι αυτές δεν είναι οι κατάλληλες ποσότητες που πρέπει να χρησιμοποιούμε για την περιγραφή του. Αυτό που χαρακτηρίζει το ηλεκτρόνιο ή οποιοδήποτε σύνολο σωματιδίων κάθε χρονική στιγμή είναι μια κυματοσυνάρτηση. Αν υπάρχει ένας άνθρωπος που παρατηρεί τα σωματίδια, τότε η κατάσταση ολόκληρου του συστήματος, συμπεριλαμβανομένου του παρατηρητή, περιγράφεται από μια ενιαία κυματοσυνάρτηση."
Steven Weinberg, Όνειρα για μια Τελική Θεωρία, 1995 - κάτοπτρο (Dreams of a Final Theory, 1992 - Pantheon Books) (ISBN 9607023943)/(ISBN 9780679744085)^[5]

Παραπομπές

1. ↑ Σρέντινγκερ Erwin Schrödinger (Νοέμβριος 1935). «Die gegenwärtige Situation in der Quantenmechanik (The present situation in quantum mechanics)». Naturwissenschaften.
2. ↑ Schroedinger: "The Present Situation in Quantum Mechanics." 5. Are the Variables Really Blurred?
3. ↑ Pay link to Einstein letter
4. ↑ http://plato.stanford.edu/entries/bell-theorem/
5. ↑ http://www.katoptro.gr/index.php?page=shop.product_details&flypage=flypage.tpl&product_id=169&category_id=6&vmcchk=1&option=com_virtuemart&Itemid=55

--------------------------------------------------------------------------------------------------

Γάτα του Σρέντινγκερ

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Η γάτα του Σρέντινγκερ: Μια γάτα, μια φιάλη με δηλητήριο και μια ραδιενεργη πηγή τοποθετούνται σε σφραγισμένο κουτί. Αν ο εσωτερικός ελεγκτής ανιχνεύσει ραδιενέργεια (π.χ. μια διάσπαση ατόμου), η φιάλη θρυμματίζεται, ελευθερώνοντας το δηλητήριο που σκοτώνει τη γάτα. Η θεώρηση της Κοπεγχάγης για τη κβαντομηχανική υπονοεί ότι μετά από λίγο, η γάτα είναι ταυτόχρονα ζωντανή και νεκρή. Όμως, όταν κάποιος κοιτάει στο κουτί, την βλέπει είτε ζωντανή είτε νεκρή, αλλά ποτέ και ζωντανή και νεκρή. Αυτό εγείρει το ερώτημα, πότε μια κβαντική υπέρθεση σταματάει και η πραγματικότητα καταρρέει στη μια πιθανότητα ή στην άλλη.

Το κβαντομηχανικό παράδοξο της "γάτας του Schrödinger" σύμφωνα με την πολυπραγματική ερμηνεία του Hugh Everett. Σύμφωνα με αυτήν την θεωρητική ερμηνεία, κάθε γεγονός αποτελεί κόμβο-βρόχο διακλάδωσης· η γάτα είναι συνάμα ζωντανή και νεκρή, πριν καν ανοιχθεί το κουτί, αλλά η μεν «ζωντανή» και η δε «νεκρή» γάτα βρίσκονται σε διαφορετικά αλλά εξίσου πραγματικά σύμπαντα, που όμως δεν επικοινωνούν μεταξύ τους. Αξίζει να σημειωθεί ότι στην πραγματικότητα η γάτα δεν έχει συγχρονισμένες ή ελεγχόμενες κβαντικές ιδιότητες όπως ομογενώς συντονισμένη ατομική ταλάντωση, ούτε το κουτί της είναι μαγνητικά μονωμένο απ' τον γύρω κόσμο άρα το παράδειγμα δεν ισχύει υπό αυτές τις συνθήκες διότι βασίζεται στον εσφαλμένο διαχωρισμό παρατηρητή και πειράματος (σφάλμα του Niels Bohr και της κβαντομηχανικής ερμηνείας της Κοπεγχάγης - βλ. κατάρριψή του απ' τον Steven Weinberg). Το πείραμα διαφορετικών εναλλακτικών σε σχέση με τον παρατηρητή ίσως ισχύει (δεν συμφωνούν οι περισσότεροι ότι το κουτί αλλάζει κάτι) για άτομα ή μακροσκοπικά αντικείμενα συντονισμένης ατομικής ταλάντωσης ή όταν υπάρχει απόλυτη μονώση-θωράκιση από τον γύρω χώρο όμως η σύγχρονη θεώρηση δεν διαχωρίζει τον παρατηρητή από το πείραμα ανά "επισύμπαν", άρα η χρήση κουτιού είναι εσφαλμένη και περιττή, χωρίς αυτό να αποκλείει την πολυπραγματικότητα. Άλλη εσφαλμένη θεώρηση στην οποία βασίζεται το "νοητικό πείραμα της γάτας του Schrödinger" είναι η ασαφής-αόριστη χρήση του όρου παρατήρηση αντί των όρων αλληλεπίδραση/κρούση σωματιδίου σε σωματίδιο κι άρα μεταβολή των κυματοσυναρτήσεών τους. Στην αοριστολογία αυτή βασίζονται εσφαλμένες και μεταφυσικές ερμηνείες της κβαντικής μηχανικής, μαθηματικά όμως δεν προκύπτει κάτι παράδοξο, μεταφυσικό ή ανθρωποκεντρικό.

Αρχή της απροσδιοριστίας

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια

Η αρχή της απροσδιοριστίας ή διαφορετικά αρχή της αβεβαιότητας είναι βασικό αξίωμα της κβαντικής μηχανικής που διατυπώθηκε για πρώτη φορά το 1927 από τον Βέρνερ Χάιζενμπεργκ (Werner Heisenberg, 1901 - 1976). Σύμφωνα με την αρχή της απροσδιοριστίας είναι αδύνατο να μετρηθεί ταυτόχρονα και με ακρίβεια, ούτε πρακτικά, ούτε και θεωρητικά η θέση και η ταχύτητα, ή ορμή, ενός σωματίου.
Εν αντιθέσει με την αρχή της αιτιοκρατίας, σύμφωνα με την αρχή της απροσδιοριστίας υπάρχουν γεγονότα των οποίων η εκδήλωση δεν υπαγορεύεται από κάποια αιτία.

Η απροσδιοριστία αυτή δεν αναφέρεται στην ανικανότητα του ανθρώπου να παρατηρήσει ορισμένα φαινόμενα στον μικρόκοσμο αλλά σε μία πραγματική ιδιότητα του Φυσικού Κόσμου, η οποία εμφανίζεται και πειραματικά. Ο λόγος που δεν βλέπουμε αυτή την αβεβαιότητα στην καθημερινότητα είναι ότι εμφανίζεται σε πολύ μικρή κλίμακα και γίνεται κυρίως εμφανής στον μικρόκοσμο.

Πίνακας περιεχομένων

• 1Εκφράσεις
• 2Το θεώρημα
  • 2.1Περιγραφή και απόδειξη
  • 2.2Εφαρμογή στην ανισότητα θέσης ορμής
• 3Λανθασμένη γενίκευση
• 4Βιβλιογραφία
• 5Δείτε επίσης
• 6Παραπομπές
• 7Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Εκφράσεις

Η βασική έκφραση της αρχής της απροσδιοριστίας είναι αυτή του 1927:

Εάν μετράμε τη θέση ενός σωματίου με αβεβαιότητα ${\displaystyle \Delta x}$ και ταυτόχρονα μετράμε την ορμή του με αβεβαιότητα ${\displaystyle \Delta p}$, τότε το γινόμενο των δύο μεγεθών δεν μπορεί να είναι μικρότερο από έναν αριθμό της τάξης του ${\displaystyle \hbar }$, όπου ${\displaystyle \hbar }$ (προφέρεται "h-bar") η ανηγμένη σταθερά του Πλανκ, ${\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$. Δηλαδή:

${\displaystyle \Delta x\cdot \Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}}$

Οι αβεβαιότητες των μεγεθών θέσης και ορμής ${\displaystyle \Delta x}$ και ${\displaystyle \Delta p}$ ισούνται με τη διασπορά τους γύρω από τη μέση τους τιμή. Ο ίδιος ο Χάιζενμπεργκ εξήγησε ότι η ελάχιστη αβεβαιότητα στη μέτρηση των ${\displaystyle \Delta x}$ και ${\displaystyle \Delta p}$ δεν είναι πειραματικό σφάλμα, δεν οφείλεται δηλαδή στις ατέλειες των πειραματικών συσκευών, αλλά προκύπτει από τη δομή της ύλης καθεαυτήν. Πιο συγκεκριμένα, η σχέση αβεβαιότητας είναι άμεση συνέπεια του κυματοσωματιδιακού δυϊσμού της ύλης. Σε θεωρητικό επίπεδο, είναι αποτέλεσμα των μεταθετικών σχέσεων ανάμεσα στους κβαντομηχανικούς τελεστές θέσης και ορμής.

Η σχέση αβεβαιότητας ισχύει για μεγέθη που μετρούνται στον ίδιο άξονα, για παράδειγμα για το ζευγάρι ${\displaystyle \Delta x}$, ${\displaystyle \Delta p_{x}}$. Όλα τα υπόλοιπα ζεύγη μεγεθών σε διαφορετικούς άξονες μπορούν να μετρηθούν ταυτόχρονα με απόλυτη ακρίβεια.

Υπάρχουν και άλλες εκφράσεις της αρχής της απροδιοριστίας. Μια από αυτές είναι η εξής:

${\displaystyle \Delta E\cdot \Delta t\geq {\frac {\hbar }{2}}}$

Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει όριο στην ακρίβεια που μπορούμε να μετρήσουμε την ενέργεια ${\displaystyle \Delta E}$ ενός συστήματος, αν το σύστημα παραμένει σε μια δεδομένη ενεργειακή κατάσταση για χρόνο ${\displaystyle \Delta t}$.

Θεμελιώδη αποτελέσματα για την απόδειξη των παραπάνω ανισοτήτων είναι αυτά του W. Heisenberg^[1][2] σχετικά με τους μεταθέτες των τελεστών ${\displaystyle q,p}$ (θέση ${\displaystyle x}$ με τον συμβολισμό της αναλυτικής μηχανικής, ορμή) και ${\displaystyle E,t}$ (ενέργεια και χρόνος):

${\displaystyle pq-qp={\frac {h}{2\pi i}}}$

και

${\displaystyle Et-tE={\frac {h}{2\pi i}}}$

Το θεώρημα

Περιγραφή και απόδειξη[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Από μαθηματικής σκοπιάς η αρχή της απροσδιοριστίας ισοδυναμεί με ένα θεώρημα^[3] για τους τελεστές.

Συγκεκριμένα έστω ${\displaystyle A}$ και ${\displaystyle B}$ αυτοσυζυγείς τελεστές (δηλαδή ${\displaystyle A^{+}=A}$). Οι τελεστές στην κβαντομηχανική αντιστοιχούν στις φυσικές ποσότητες όπως η θέση, η ορμή, η ενέργεια, η στροφορμή μιας κατάστασης. Αν έχουμε μια κατάσταση ${\displaystyle \psi }$ (ή επίσης γράφεται ${\displaystyle |\psi \rangle }$). Τότε η "μέση τιμή" του μεγέθους υπολογίζεται ως ${\displaystyle (\psi ,A\psi )}$ (εσωτερικό γινόμενο της κατάστασης ${\displaystyle \psi }$ με την κατάσταση ${\displaystyle A\psi }$) πράγμα που γράφεται πιο φυσικά ως ${\displaystyle \langle \psi |A|\psi \rangle }$. Δηλαδή:

${\displaystyle \langle A\rangle =\langle \psi |A|\psi \rangle }$

Τώρα ο τελεστής ${\displaystyle A_{0}=A-\langle A\rangle }$ έχει μέση τιμή μηδέν. Μπορούμε να ορίσουμε την αβεβαιότητα του ${\displaystyle A}$ ως:

${\displaystyle \Delta A={\sqrt {\langle A_{o}^{2}\rangle }}={\sqrt {\langle A^{2}\rangle -\langle A\rangle ^{2}}}}$

Μια άλλη χρήσιμη έννοια είναι ο μεταθέτης δύο τελεστών ${\displaystyle A,B}$, που γράφεται ως ${\displaystyle [A,B]=AB-BA}$. Από κβαντομηχανικής άποψης το ${\displaystyle AB}$ σημαίνει ότι πρώτα κάνουμε την μέτρηση του ${\displaystyle B}$ και μετά του ${\displaystyle A}$ ενώ ${\displaystyle BA}$ σημαίνει πρώτα του ${\displaystyle A}$ και μετά του ${\displaystyle B}$. Δηλαδή η σειρά με την οποία γίνεται η μέτρηση ενός τελεστή επί μιας κατάστασης ${\displaystyle \psi }$, είναι αυτή με την οποία δρα ο τελεστής στην κατάσταση: ${\displaystyle BA\psi =B(A\psi )=B\phi }$.
Μπορεί να δείξει κανείς πως το μέτρο της μέσης τιμής δύο τελεστών ${\displaystyle A,B}$ σχετίζεται με τις μέσες τιμές των τελεστών ${\displaystyle A^{2},B^{2}}$ με την ακόλουθη σχέση:

${\displaystyle |\langle AB\rangle |\leq {\sqrt {\langle A^{2}\rangle \langle B^{2}\rangle }}}$

Ακόμη, βάσει της παραπάνω σχέσης μπορεί να δείξει κανείς την ακόλουθη σχέση μεταξύ του μέτρου της μέσης τιμής ενός μεταθέτη ${\displaystyle [A,B]}$ και της διασποράς του κάθε τελεστή:

${\displaystyle |\langle [A,B]\rangle |=|\langle [A_{o},B_{o}]\rangle |\leq 2|\langle A_{o}B_{o}\rangle |\leq 2\Delta A\cdot \Delta B}$

Αυτό μας δίνει τον γενικό τύπο της αρχής της αβεβαιότητας

${\displaystyle \Delta A\cdot \Delta B\geq {\frac {1}{2}}|\langle [A,B]\rangle |}$

Εφαρμογή στην ανισότητα θέσης ορμής[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Χρησιμοποιώντας το παραπάνω θεώρημα, και την μεταθετική σχέση ${\displaystyle xp-px=h/(2\pi i)}$ παίρνουμε:

${\displaystyle (\Delta x)(\Delta p)\geq {\frac {1}{2}}|\langle [x,p]\rangle |={\frac {1}{2}}|\langle xp-px\rangle |={\frac {1}{2}}{\Big |}{\Big \langle }{\frac {h}{2\pi i}}{\Big \rangle }{\Big |}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {h}{2\pi }}={\frac {\hbar }{2}}}$

Όμοια δείχνει κανείς και την ανισότητα μεταξύ στις αβεβαιότητες ενέργειας και χρόνου.

Λανθασμένη γενίκευση

Λανθασμένα πολλές φορές, γενικεύεται η αρχή της απροδιοριστίας σε φαινόμενα της καθημερινής ζωής, όπως και η θεωρία της σχετικότητας, στο σύνολο της ή σπανιότερα σε τμήματά της. Τόσο η αρχή της απροσδιοριστίας, όσο και η θεωρία της σχετικότητας, αναφέρονται σε φαινόμενα που συμβαίνουν σε σχετικά πολύ μικρά μήκη ή πολύ μεγάλες ταχύτητες, αντίστοιχα. Αυτό έχει ως συνέπεια η ισχύς τους να περιορίζεται κατά πολύ μεγάλο βαθμό στην κλασσική φυσική, η οποία και περιγράφει τα φαινόμενα που γίνονται αντιληπτά από εμάς καθημερινά. Ειδικότερα για την αρχή της απροσδιοριστίας, αυτό μπορεί να γίνει άμεσα αντιληπτό από την μαθηματική έκφρασή της: η σταθερά ${\displaystyle \hbar }$ έχει πολύ μικρή τιμή (1,054 572 66 × 10⁻³⁴ ± 66 J·s) συγκρινόμενη με τις αποστάσεις και τις ταχύτητες που μπορούμε να μετρήσουμε πρακτικά έξω από το χώρο του εργαστηρίου.

Βιβλιογραφία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

• "Physics For Scientists & Engineers, Τόμος IV, Σύγχρονη Φυσική", Third Edition, Raymond A. Serway, Μεταφρ. Λεωνίδα Κ. Ρεσβάνη
• «Κβαντομηχανική Ι», Σ. Η. Μάσεν, 2011
• «Κβαντομηχανική Ι», Σ. Τραχανάς, 2005

Δείτε επίσης

• Αρχή της αντιστοιχίας
• Εξίσωση Σρέντιγκερ

Παραπομπές

1. ↑ W. Heisenberg, "Ueber den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik"
2. ↑ W. Heisenberg "The actual content of quantum theoretical kinematics and mechanics"
3. ↑ Σ. Τραχανά Κβαντική Μηχανική Ι, εκδ. 1999

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• HyperPhysics (Georgia State University)

 

 O Νεύτων έθεσε τις βάσεις για την φύση των σωμάτων, σύμφωνα με αυτές θα μπορούσαμε να θεωρήσουμε τα σωματίδια της ύλης ως σφαιρίδια για τα οποία θα ήταν δυνατόν να μετρήσουμε με απόλυτη ακρίβεια την θέση και την ταχύτητα τους, αρκεί φυσικά να έχουμε τα κατάλληλα όργανα μέτρησης. 

Μετά ακολούθησε ο Λαπλάς, ο οποίος βασίστηκε στις εξισώσεις του Νεύτωνα και θεώρησε ότι υπολογίζοντας τις θέσεις και τις ταχύτητες όλων των σωματιδίων στο σύμπαν με τη βοήθεια των μαθηματικών θα καταφέρναμε να υπολογίσουμε με ακρίβεια την κατάσταση του σύμπαντος, ενδεχομένως, το μέλλον ή και το παρελθόν (αυτό κι αν ήταν επιστημονική αισιοδοξία). Ακόμη και την δημιουργία του κόσμου, αν φυσικά υπήρξε.

Όλα αυτά αναφέρονται στον μακρόκοσμο μας και βρίσκουν άριστη εφαρμογή, οπότε όλα καλά, το πρόβλημα ήταν στον μικρόκοσμο. Τον 20ο αιώνα τα πράγματα άλλαξαν, συγκεκριμένα στις αρχές του αιώνα, τέθηκε στο «επιστημονικό τραπέζι» η κβαντομηχανική θεωρία, ή όπως έλεγε και ο Χάιζενμπεργκ: 

«Εκείνη την εποχή η κβαντική θεωρία δεν ήταν πραγματικά θεωρία αλλά κάτι που προκαλούσε απλά αμηχανία» και είχε απόλυτο δίκιο, διότι η κβαντομηχανική δεν ήταν μια θεωρία που προέκυψε από έναν Φυσικό. Οι περισσότεροι την αποδέχτηκαν κάτω από την πίεση των πειραματικών δεδομένων, υπήρχαν φυσικά και ένθερμοι αντίπαλοι της, ακόμη και ο Αϊνστάιν την αμφισβητούσε. Αν θέλεις περισσότερα ιστορικά στοιχεία και την εξελικτική πορεία της θεωρίας διάβασε αυτό.

Η Κβαντομηχανική, που λες, είναι θεμελιωμένη αρχή, αξίωμα, αναπτύχθηκε με σκοπό την ερμηνεία της συμπεριφοράς των ατομικών και υποατομικών σωματιδίων. Όπου η νευτώνεια μηχανική αδυνατούσε να περιγράψει το φαινόμενο, η κβαντομηχανική έβρισκε εύκολα τον δρόμο. Μπορεί η συγκεκριμένη θεωρία να ταιριάζει πειραματικά στον μικρόκοσμο αλλά οι εξισώσεις του Νεύτωνα προκύπτουν από αυτές τις κβαντομηχανικής.

Βασικό αξίωμα της κβαντομηχανικής είναι Η Αρχή της Απροσδιοριστίας. 

«Είναι αδύνατο να γνωρίζει κανείς με ακρίβεια τη θέση και την ταχύτητα ενός φωτονίου, είτε πρακτικά, είτε θεωρητικά», είπε ο Χάιζενμπεργκ στην περίφημη αρχή του, η οποία άλλαξε την εικόνα μας για το Σύμπαν. 

Η απροσδιοριστία δεν οφείλεται στην έλλειψη δεξιοτήτων του ανθρώπου να πραγματοποιήσει με ακρίβεια μετρήσεις στον μικρόκοσμο αλλά σε μία πραγματική ιδιότητα του φυσικού κόσμου, η οποία εμφανίζεται και πειραματικά (είναι άμεση συνέπεια του κυματοσωματιδιακού δυϊσμού της ύλης). Ο λόγος που δεν βλέπουμε αυτή την αβεβαιότητα στην καθημερινότητα είναι ότι εμφανίζεται σε πολύ μικρή κλίμακα και γίνεται κυρίως εμφανής στον μικρόκοσμο.

Μια από τις πολλές μαθηματικές εκφράσεις της αρχής: 

Το γινόμενο της αβεβαιότητας ∆x της θέσης ενός σωματιδίου επί την αβεβαιότητα της ορμής του σωματιδίου ∆p δεν δύναται να γίνει μικρότερο μιας παγκόσμιας σταθεράς που είναι η ίδια για όλα τα συστήματα αναφοράς, αδρανειακά και µη:  ∆x•∆p ≥ h. 

Όπου:

p = η ορμή του σωματιδίου, 

x = η τιμή της θέσης του. 

Δηλαδή, όσο μεγαλύτερη ακρίβεια επιτυγχάνουμε στον προσδιορισμό της θέσης του σωματιδίου τόσο μεγαλύτερο σφάλμα υπεισέρχεται στον προσδιορισμό της ορμής και αντίστροφα. Αυτό το όριο οφείλεται στην ποσότητα h. Εξαιτίας της πολύ μικρής τιμής που έχει η σταθερά αυτή και δεδομένου ότι στον μικρόκοσμο οι μάζες των σωματιδίων είναι επίσης πολύ μικρές. Για παράδειγμα αν θέλουμε να μετρήσουμε την θέση ενός σωματιδίου στον μικρόκοσμο, δηλαδή να περιορίσουμε το Δx στην μικρότερη δυνατή τιμή, τότε, εξαιτίας του γινόμενου του Δx με το Δp το οποίο πρέπει να είναι μεγαλύτερο του h, θα έχουμε ως αποτέλεσμα μια πολύ μεγάλη τιμή στο Δp. Δηλαδή, ενώ μετρήσαμε με ακρίβεια την θέση του σωματιδίου δεν μπορούμε να γνωρίζουμε την ορμή του σωματιδίου (άρα και την ταχύτητα του).

Δες επίσης μια προσέγγιση από το TEDed.

https://www.g-physics.com/2014/09/blog-post_18.html